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Cómo ayudar a entender las restas con llevada

Continuo con la serie donde explico como se pasa de hacer una operación con materiales manipulativos a escribirla en papel. Ya he explicado como escribir las sumas con bloques las perlas Montessori con y sin llevada. Así que hoy toca seguir con la resta.

He decidido utilizar las perlas doradas Montessori para hacer las explicaciones, porque son un material base 10 muy visual. Pero se trabaja igual con cualquier otro material de cálculo como policubos, sellos Montesori o tablas perforadas.

Escribir y entender las restas con material Base 10 (perlas doradas)

Esta vez, en lugar de la serie de fotos he hecho un video explicando paso a paso como hago una resta y la voy escribiendo en papel.

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Como puedes ver, el procedimiento es parecido al de la suma. Pero ahora solo formamos el primer número y vamos quitando perlas hasta formar el segundo.

La solución a la resta son las perlas que quedan en la parte superior, y este es el número que escribimos en papel.

Restas con llevada

En algunos casos, no habrá suficientes perlas del mismo tipo para quitar (restas con llevada).

El procedimiento que hemos usado es el mismo que en el caso anterior. Pero cuando no tenemos suficientes perlas, tenemos que hacer un cambio para obtenerlas y poder restar.

Explicar las restas con perlas doradas (Método 2)

En los ejemplos que acabo de hacer, he considerado que restar es quitar. Aunque esta no es la única forma de entender la resta.

Ya dediqué un apartado explicando esta otra forma de restar que considera restar a calcular la diferencia que hay entre 2 números. Esta otra forma de restar están utilizandola en algunos colegios, así que también voy a explicarla con 2 ejemplos.

Resta sin llevada

Voy a repetir la primera resta que hice, pero esta vez voy a empezar por el número más pequeño y voy a añadir perlas en lugar de quitarlas.

Con este método, la solución son las perlas que he añadido en la parte inferior. El número más grande es el total de perlas que hay en el tablero. Contando las de arriba y las de abajo.

Restas con llevada

Al contrario de lo que ocurre con el primer método, aquí no hay que hacer cambios para resolver la resta. Sin embargo, hay que recordar cuantas perlas hay en la columna anterior.

Intentar hacer una resta como la del video resulta bastante engorrosa. Sobre todo para los que no estamos acostumbrados a restar así.

Ten en cuenta que en los colegios donde trabajan de esta manera no hacen la resta en un solo paso como en el video. Para conseguir el número mayor, niño va añadiendo perlas poco a poco, las cuenta, y sigue añadiendo o quitando las que necesita.

Así que las restas con este método son bastante más largas. Sin embargo se ejercita mucho más el cálculo mental y la estimación de cantidades.

Recomendaciones y cosas a tener en cuenta

Como he explicado otras veces, soy más partidaria de dejar primero a los niños trabajar con los materiales sin escribir nada en papel. Si vas a enseñar a restar a un niño que aún no sabe, este es el método que te recomiendo.

Sin embargo, muchos niños han aprendido a restar de memoria sin comprender. En ese caso es mejor hacer una resta que ya hayan escrito, por ejemplo en clase. Se hace con el la resta paso a paso con el material manipulativo, y se va escribiendo en papel. Lo hacemos paso a paso, para asegurarnos de que van entendiendo todo el proceso. Y paramos en cada paso el tiempo que sea necesario.

 

Y hasta aquí mi primera incursión en el mundo del video. ¿Qué te ha parecido? ¿Se entiende así mejor que con las fotos? Cualquier comentario será bienvenido e intentaré aplicarlo para las próximas entradas explicando como escribir la multiplicación y división con materiales manipulativos.

Problemas del taller de matemáticas EPLE 2018: corredoras y balanzas

Como avisamos en el blog, el pasado viernes 30 de marzo Reseteo Matemático hizo un taller en el Encuentro Por la Libertad Educativa (EPLE 2018).

Para aquellos que no pudísteis ir, vamos a comentaros nuestras impresiones del taller y a facilitaros las hojas de trabajo para que podáis hacer los problemas en vuestras aulas o en casa.

Formato del taller

  • Había 2 problemas, uno propuesto por Sara y otro por Bea.
  • Se podía elegir trabajar sobre cualquiera de ellos, en ambos o sobre cualquier variación que se te ocurriera.
  • Era posible tanto trabajar sólo como en grupo.
  • Para intentar resolver el problema se podía utilizar cualquier material o método: hacer cálculos, recortar, pintar, construir…
  • Tras un rato de trabajo compartimos nuestras investigaciones.

Problema de balanzas

El problema de Sara, consistió en unos esquemas de balanzas con figuras geométricas colgando. En algunos casos la balanza estaba equilibrada, pero en otros no. Los casos en los que estaban desequilibradas los saqué de Lost in reclusion.

TaEsquemas de balanzas, equilibradas y desequilibradas. Problemas de matemáticas EPLE 2018

En todos los casos se hacían 2 preguntas:

  • ¿Sabes qué figura geométrica pesa más y cual menos?
  • Si conoces el peso de 1 cuadrado ¿Puedes calcular el peso de las demás figuras?

Problema de las corredoras de 10.000 m

En su problema, Beatriz, nos mostró los tiempos registrados por tres corredoras durante sus entrenamientos para una carrera de 10.000 m en la que solo pueden participar dos de ellas:

Tabla de tiempos de las corredoras. Problemas de matemáticas EPLE 2018

 

Y plantearon 2 preguntas:

  • ¿Qué razones puedes dar para dejar fuera a Nerea?
  • ¿Qué razones puedes dar para dejar fuera a Amira?

Impresiones durante el taller

En este taller hubo más asistentes que de costumbre, tal vez por la lluvia. Para evitar el problema de acceso al material de trabajo que tuvimos el año pasado, colocamos una pequeña mesa aparte. Así evitamos que alguien se pusiera a trabajar encima del material.

Por otro lado, surgió un nuevo problema de ruido y dispersión. Al hacerse en el comedor, compartimos espacio con los que venían a recoger la merienda. Al final algunos grupos no se enteraron cuando pedimos juntarnos y contarnos qué habíamos hecho, bien porque no nos oyeron, bien porque se habían levantado a recoger la merienda. Así que acabamos compartiendo 3 veces lo que habíamos hecho con distintos grupos de personas.

Nuestras observaciones personales

No importa cuántos talleres hallamos realizado, siempre nos sorprendemos con las distintas maneras de enfocar los problemas. Aquí van nuestras impresiones.

Del problema de balanzas, a mí (Sara) me sorprendió que la mayor parte de la gente asignó los valores a las balanzas no equilibradas. Aquellos que no fueron capaces de dar un número como respuesta, creían estar haciendo algo mal. Estamos tan acostumbrados a encontrar la respuesta correcta en matemáticas que cuesta mucho decir “no se puede” y pensamos que el fallo está en nosotros.

Del problema de las corredoras, a mí (Beatriz) me encantó que hubiera distintas maneras de enfocar el problema. Algunas personas estudiaron los datos en conjunto, otras los estudiaron por entrenamiento, algunas tuvieron en cuenta la progresión de cada corredora. También me propusieron realizar una gráfica tiempo/frecuencia para cada corredora, lo cual a mí no se me había ocurrido, ¡me encanta!

Gráfica sin tiempo. Problema de las corredoras de 10000m

En cualquier caso estos datos y estas preguntas dieron lugar a conversaciones matemáticas muy interesantes en las que aparecieron conceptos estadísticos como media, dispersión, incluso datos extremos…

Descarga las hojas de problemas de matemáticas EPLE 2018

Gracias a todos los participantes por sus ideas y sus razonamientos matemáticas y ¡hasta la próxima!

Aprender matemáticas con monedas y dinero

Hoy voy a hablar de un material manipulativo especialmente interesante para los niños reticentes a utilizar materiales manipulativos: el dinero.

A veces hay niños que necesitan manipular materiales para conseguir entender los conceptos matemáticos, pero que se resisten a utilizar los materiales tradicionales.

Esto lo sé muy bien porque tengo una hija a quién le pasa. Nunca he entendido exactamente porqué no le gustan los manipulativos, pero al empezar a sumar y restar no era capaz de hacer los cálculos mentalmente, ni entender qué hacer. Sin embargo, se resistía a hacer los cálculos con objetos. Al menos fue así hasta que empezamos a usar monedas para representar las cantidades. Seguir leyendo Aprender matemáticas con monedas y dinero

Aprender el concepto de cantidad

Tercera y última entrada de la serie dedicada a explicar cómo aprendemos los números. Si no has leído las dos anteriores son  una introducción de cómo se llegan a aprender los números y  una explicación en detalle de cómo se aprende a contar.

Hoy me centraré en explicar otra cosa para la  que utilizamos los números: para manejar cantidades y para operar con ellas.

La noción de número: el concepto de cantidad

Ya he explicado cómo se va aprendiendo a contar, y cómo progresivamente se van utilizando los números para asignar un orden.

Sin embargo, aprender a contar es sólo la mitad de lo que implica trabajar con números. A veces, los niños aprenden que para contar tienen que recitar un número por cada elemento, y luego decir en voz alta el último número. Pero no entienden por qué se hace esto.

De hecho, si les pides que cuenten 2 conjuntos y les preguntas en cual de los 2 hay más, no sabrán que contestar. Incluso si les dices que en uno hay 6 y en otro 5 elementos.

Concepto de cantidad. Conjuntos de frutas
Si preguntas a un peque que no ha desarrollado el concepto de cantidad, no sabrá decirte en que montón hay más frutas

Para poder compararlos necesitan ir emparejando los elementos de los dos conjuntos uno a uno.

Concepto de cantidad. Comparar conjuntos con elementos alineados
La manera de saber que fruta hay más para alguien que no tiene el concepto de cantidad, es emparejarlas una a una

Esto ocurre porque para entender la noción de número, además de la correspondencia uno a uno, hay que comprender el principio de conservación.

¿Qué es el principio de conservación?

Este principio enuncia que si dos conjuntos tienen igual número de elementos van a seguir teniendo el mismo número de elementos los pongas en la posición que los pongas.

Esta idea, que nos parece tan evidente, no se suele desarrollar hasta pasados los 6 años. Voy a explicaros el experimento que realizó Piaget con niños que aun no habían desarrollado el concepto de conservación.

En primer lugar se le ponen al niño dos conjuntos con el mismo número de elementos y colocados de igual manera. Entonces se le pregunta en cual de los conjuntos hay más piezas.

Concepto de cantidad. Experimento Piaget 1

Normalmente el niño dice que hay las mismas.

Entonces delante suyo se separan los elementos del segundo conjunto y se le vuelve a preguntar donde hay más piezas.

Concepto de cantidad. Experimento Piaget 2

Si el niño aún no ha desarrollado el concepto de conservación, dirá que hay más en el segundo. No importa que sepa que antes había los mismos. Incluso puede que le preguntes cuantos hay en cada conjunto y responda que 4. Pero seguirá afirmando que hay más en el segundo porque ocupan más sitio.

Cómo desarrollar el concepto de cantidad y conservación

La única forma de desarrollar conceptos abstractos como el de número y el de conservación es reflexionando sobre experiencias concretas.

La noción de número se desarrolla a partir de observar conjuntos físicos, que puede ver, tocar, oler… Y progresivamente se van identificando equivalencias y relaciones lógicas que forman la idea de que los números indican una cualidad (cantidad) de un grupo de objetos, que no se puede tocar pero está allí.

Este proceso se desarrolla con tiempo y mucha experimentación. No se puede forzar. Da igual que le expliques a un niño que en los dos conjuntos hay 4 elementos y por lo tanto son iguales. Tiene que encajar en su cabeza la idea de que 4 es una cualidad abstracta que es independiente de la posición o el tamaño de los elementos.

Un niño que aún no tiene la idea de número, encontrará extremadamente difícil sumar y restar con ellos. No va a comprender qué está haciendo. Y la única manera de rellenar los ejercicios será aprendiendo las tablas de memoria.

Problemas cuando no has desarrollado el concepto de cantidad

Uno de los principales problemas que me he encontrado al hablar con gente que “odia las matemáticas”, es que no tuvieron tiempo para comprender en profundidad el concepto de cantidad. Debido a esto, no conseguían saber qué estaban haciendo y las matemáticas se convirtieron en una asignatura en la que tienes que memorizar una serie de normas sin sentido. Cuando en realidad las matemáticas van sobre encontrar relaciones entre las cosas.

Por ejemplo, si no entiendes por qué 2+2=4 y solo lo memorizas, cuando llegues al álgebra, no vas a entender qué estás haciendo. Allí lo que hay que sumar son letras (a+2b), y tendrás que memorizar más reglas sin sentido para poder aprobar los exámenes.

Así que si detectas que tu hijo o un alumno aún no domina el concepto de cantidad, no lo dejes pasar. No importa que consiga aprobar los exámenes, hasta que no consiga comprenderlo por si mismo, no cobrarán para él sentido cosas más complejas.

Eso sí, cuando digo que no lo dejes pasar, no quiero decir que te sientes con el 10 minutos cada día para explicárselo. De esta manera solo conseguirás que se cierre en banda y  se bloquee.

Se trata más bien de que tomes nota mentalmente de que hay una tarea pendiente, y que una vez al mes le pongas actividades en las que puedas comprobar si sigue sin entender la cantidad o no.

Como expliqué más arriba, el concepto de cantidad es un proceso que se desarrolla con tiempo y mucha experimentación.  Así que lo mejor es dejar espacio y tiempo para que se comprenda el concepto. Sin presiones pero estando atento a los progresos.

 


Al acabar de escribir esta entrada, mi beta-reader me ha preguntado si he cambiado el estilo del blog. Dice que de repente he empezado a dar muchos consejos.

Resulta que acabo de terminar un curso de Jo Boaler que me recomendó mi compañera Beatríz. Y ahora mismo estoy muy sensibilizada con las dificultades que encontramos al aprender matemáticas. Así que a lo mejor se me ha ido la mano dando recomendaciones.

Si creéis que me he pasado dando consejos ponédmelo en los comentarios. Y si no también. Así podré mejorar las siguientes entradas.

 

Construye poliedros con gomas y cartulina

Hoy voy a compartir un material para construir figuras en 3D con gomas elásticas, cartulina y unas tijeras. Este material es el que utilicé para el taller que hicimos la semana pasada en el FACE 2017.

Consiste en unos polígonos de cartulina con pestañas en cada uno de sus lados, que permiten enganchar unas piezas con otras utilizando gomitas elásticas.

Piezas para construir poliedros con gomitas

La idea la encontré hace tiempo en matemáticas visuales, donde tienes unas fantásticas plantillas para imprimirte las piezas. Las piezas incluyen polígonos regulares de 3, 4, 5, 6, 8 y 10 lados. Además, todas las piezas tienen sus lados igual de largos, para poder unir 2 figuras cualesquiera. Esas plantillas mezclan piezas de varios tipos, así que si las imprimes en cartulina de colores, tendrás piezas de distintas formas pero el mismo color.

Sin embargo, para mi taller quería que cada tipo de polígono tuviera un color diferente. Así que he dibujado unas plantillas compatibles con las de matemáticas visuales, pero con los polígonos de un solo tipo. Intentando además aprovechar la cartulina al máximo.

Plantillas de polígonos para construir poliedros con gomitas

De esta manera he podido imprimir los triángulos, cuadrados y pentágonos de colores diferentes. Desgraciadamente, por más vueltas que le dí, no conseguí hacer una plantilla solo con hexágonos sin desperdiciar demasiada cartulina, así que dibujé triángulos en los huecos.

Lo que me gusta de este material es que las uniones las puedes ir haciendo y deshaciendo. No necesitas saber exactamente que quieres construir, puedes ir probando hasta que encuentres lo que buscas. Esta libertad permite centrarte en ir buscando posibles soluciones y no agobiarte dudando si lo estás haciendo “bien” o no. Si no te gusta como queda lo puedes rehacer.

Si quieres empezar a construir ya mismo solo tienes que imprimir la plantilla de poliedros con gomitas y empezar a recortar las piezas. Hay que recortar por las lineas gruesas y doblar las solapas por las finas.

Pieza recortada y doblada
Pieza recortada y doblada

Ahora solo te queda unir dos piezas por sus lados con una goma elástica.

Dos piezas unidas con una goma elástica

Y repetir el proceso las veces que necesites.

Tres piezas unidas con una goma elástica

Y si además quieres utilizar octógonos y decágonos, puedes imprimir las plantillas de matemáticas visuales para recortar esas piezas.

Espero que te haya gustado este recurso. A mí desde luego me encanta. Es muy probable que vaya haciendo más entradas contando para qué las estoy utilizando.

Historia del material

Edito a raíz de un comentario que me  han hacho en Facebook sobre el origen de este material. No he encontrado información de quién lo inventó. Así que tengo que dar por buena la explicación de matemáticas visuales que afirma que lo patentó el arquitecto Fred Bassetti en 1959.

Lo que sí he descubierto es que se popularizó en España en los años 80 gracias a una exposición itinerante llamada “Horizontes matemáticos”.  Era una exposición organizada por la APMEP, una asociación francesa de profesores de matemáticas en enseñanza pública. Dentro de la exposición había distintos puestos con materiales y uno de ellos eran estos polígonos de cartulinas llamados material PLOT. El nombre de PLOT viene de las iniciales de Poitiers, Orleáns, Limoges y Tours, que son las 4 ciudades que participaron en la primera versión de “Horizontes matemáticos”.

Al parecer, se fabricó material PLOT  listo para troquelar en distintas ciudades de Francia y en Tudela. Pero no he encontrado ningún sitio donde las sigan fabricando.

 

Policubos: Fracciones

Bienvenido a una nueva entrada de nuestra serie sobre Policubos. Hoy toca hablar de fracciones. Vamos a ver cómo representarlas y cómo hacer operaciones con ellas de forma manipulativa.

También puedes visitar nuestro tablero de Pinterest con enlaces a plantillas gratuitas de otras personas para hacer actividades con Policubos.

Representar fracciones con Policubos

Para representar las fracciones utilizando los Policubos se utilizan dos colores. Yo utilizo un color cualquiera para el numerador y el blanco para el denominador, ya que resulta menos llamativo.

Por ejemplo, para representar la fracción 3/4, se conectan 3 Policubos de color y uno blanco para que el total de Policubos sea 4. De esta manera se puede decir que 3/4 de los Policubos son de color.

Representar fracción con Policubos

Los Policubos se pueden conectar en tiras como en la foto de arriba, o formando rectángulos. De hecho, si el denominador es mayor, es mejor representar la fracción de esta forma, porque va a ser más manejable.

Representar fracción grande con Policubos

La forma en que las conectes no es importante, lo fundamental es que la proprción de Policubos de color corresponda con la fracción, ya sea como una línea o como un cuadrado si el denominador es mayor.

Simplificar fracciones equivalentes

Una de las cosas que más suele costar entender a quienes descubren las fracciones, es que una misma fracción se puede escribir de muchas maneras.

Las fracciones equivalentes son aquellas que representan una misma cantidad, a pesar de que se escriben de forma diferente.

Simplificar fracciones equivalentes con Policubos

En la foto de arriba he representado la fracción 6/9 utilizando 9 Policubos, 6 son de color. Pero si te fijas en como están agrupadas las piezas de 3 en 3, se entiende claramente que también son 2/3.

Sumar fracciones con Policubos

Además de representar las fracciones, puedes operar con ellas de forma manipulativa.

Algo a tener en cuenta al operar con fracciones, es que lo que sumamos, restamos o multiplicamos, son únicamente los policubos de color. Los policubos blancos solo están allí para completar el denominador, y dar así una referencia visual de cuanto es la unidad.

A continuación tienes un ejemplo de como sumar fracciones de igual denominador con Policubos.

Suma de fracciones con igual denominador con Policubos

Viéndolo se entiende muy bien porqué se suman los numeradores y se deja el denominador tal cual.

Multiplicar una fracción por un número natural

También es muy sencillo multiplicar una fracción por un número natural utilizando los policubos. Solo tienes que representar la fracción tantas veces como el número por el que quieras representar.


Recuerda qué es lo que estamos multiplicando: en este caso el resultado es 6/3, porque hay 6 cubos de color y están separados de 3 en 3.


Y esto va a ser todo de momento sobre Policubos. Me he dejado un par de temas pendientes, pero la verdad es que empiezo a estar un poco aburrida y prefiero escribir sobre otras cosas.

Si eres nuevo en el blog y quieres saber más sobre los Policubos, aquí tienes los enlaces a todas las entradas que he hecho anteriormente:

También puedes visitar nuestro tablero de Pinterest con enlaces a plantillas gratuitas de otras personas para hacer actividades con Policubos.

Espero tus comentarios.