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Cómo ayudar a entender las restas con llevada

Continuo con la serie donde explico como se pasa de hacer una operación con materiales manipulativos a escribirla en papel. Ya he explicado como escribir las sumas con bloques las perlas Montessori con y sin llevada. Así que hoy toca seguir con la resta.

He decidido utilizar las perlas doradas Montessori para hacer las explicaciones, porque son un material base 10 muy visual. Pero se trabaja igual con cualquier otro material de cálculo como policubos, sellos Montesori o tablas perforadas.

Escribir y entender las restas con material Base 10 (perlas doradas)

Esta vez, en lugar de la serie de fotos he hecho un video explicando paso a paso como hago una resta y la voy escribiendo en papel.

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Como puedes ver, el procedimiento es parecido al de la suma. Pero ahora solo formamos el primer número y vamos quitando perlas hasta formar el segundo.

La solución a la resta son las perlas que quedan en la parte superior, y este es el número que escribimos en papel.

Restas con llevada

En algunos casos, no habrá suficientes perlas del mismo tipo para quitar (restas con llevada).

El procedimiento que hemos usado es el mismo que en el caso anterior. Pero cuando no tenemos suficientes perlas, tenemos que hacer un cambio para obtenerlas y poder restar.

Explicar las restas con perlas doradas (Método 2)

En los ejemplos que acabo de hacer, he considerado que restar es quitar. Aunque esta no es la única forma de entender la resta.

Ya dediqué un apartado explicando esta otra forma de restar que considera restar a calcular la diferencia que hay entre 2 números. Esta otra forma de restar están utilizandola en algunos colegios, así que también voy a explicarla con 2 ejemplos.

Resta sin llevada

Voy a repetir la primera resta que hice, pero esta vez voy a empezar por el número más pequeño y voy a añadir perlas en lugar de quitarlas.

Con este método, la solución son las perlas que he añadido en la parte inferior. El número más grande es el total de perlas que hay en el tablero. Contando las de arriba y las de abajo.

Restas con llevada

Al contrario de lo que ocurre con el primer método, aquí no hay que hacer cambios para resolver la resta. Sin embargo, hay que recordar cuantas perlas hay en la columna anterior.

Intentar hacer una resta como la del video resulta bastante engorrosa. Sobre todo para los que no estamos acostumbrados a restar así.

Ten en cuenta que en los colegios donde trabajan de esta manera no hacen la resta en un solo paso como en el video. Para conseguir el número mayor, niño va añadiendo perlas poco a poco, las cuenta, y sigue añadiendo o quitando las que necesita.

Así que las restas con este método son bastante más largas. Sin embargo se ejercita mucho más el cálculo mental y la estimación de cantidades.

Recomendaciones y cosas a tener en cuenta

Como he explicado otras veces, soy más partidaria de dejar primero a los niños trabajar con los materiales sin escribir nada en papel. Si vas a enseñar a restar a un niño que aún no sabe, este es el método que te recomiendo.

Sin embargo, muchos niños han aprendido a restar de memoria sin comprender. En ese caso es mejor hacer una resta que ya hayan escrito, por ejemplo en clase. Se hace con el la resta paso a paso con el material manipulativo, y se va escribiendo en papel. Lo hacemos paso a paso, para asegurarnos de que van entendiendo todo el proceso. Y paramos en cada paso el tiempo que sea necesario.

 

Y hasta aquí mi primera incursión en el mundo del video. ¿Qué te ha parecido? ¿Se entiende así mejor que con las fotos? Cualquier comentario será bienvenido e intentaré aplicarlo para las próximas entradas explicando como escribir la multiplicación y división con materiales manipulativos.

Cómo ayudar a entender las sumas con llevada

En otras entradas he explicado cómo se trabaja la suma con bloques base 10 y la suma con sellos Montessori. Pero me han llegado algunos comentarios pidiéndome que explique con más detalle la correspondencia entre las operaciones escritas y cómo se hacen con materiales manipulativos.

Así que he decidido escribir esta serie explicando paso a paso cómo se hacen las operaciones y cómo se refleja eso mismo en papel. Hoy toca ver cómo se hacen y escriben las sumas. En próximas semanas explicaré la resta, multiplicación y división.

He decidido hacer las explicaciones con las perlas doradas de Montesori, que es un material Base 10. He elegido este material porque es muy visual y creo que se entiende bien en fotos. Pero trabajaría igual con cualquier otro material de cálculo como policubos, sellos Montesori, ábacos o tablas perforadas.

Entender las sumas con material Base 10 (perlas doradas)

Para explicar cómo se suma, voy a hacer paso a paso la suma con las perlas doradas Montessori, a la vez que la escribo.

El primer paso consiste en formar los 2 sumandos poniendo las perlas correspondientes. En la parte superior hay 1123 perlas y en la inferior 142 (puedes contarlas si quieres). Además ordenamos las unidades, decenas y centenas en vertical para que estén unas sobre otras. Igual que pasa en la suma escrita, que las unidades están sobre las unidades, decenas sobre decenas, etc.

suma sin llevada con perlas doradas Montessori. Paso1

El siguiente paso es juntar las perlas de las unidades y escribir el número resultante en papel. En este caso, escribo un 5 en la columna de las unidades.

suma sin llevada con perlas doradas Montessori. Paso 2

Repito el proceso con las decenas. Junto todas las perlas, las cuento y escribo el resultado en la columna de las decenas.

suma sin llevada con perlas doradas Montessori. Paso 3

Igual para sumar las centenas.

suma sin llevada con perlas doradas Montessori. Paso 4

Y acabo juntando y  apuntando los millares.

suma sin llevada con perlas doradas Montessori. Paso 5

Y este es el proceso de la suma. Ahora vamos a explicar una suma con llevada.

Entender las sumas con llevada usando material Base 10 (perlas doradas)

Para hacer una suma con llevada, empiezo como en el caso anterior. Formo con las perlas doradas los dos números que quiero sumar. Uno encima del otro.

suma con llevada con perlas doradas Montessori. Paso 1

Junto las perlas de las unidades y las cuento. Como el resultado es 11, hago un grupo de 10 unidades y lo cambio por 1 decena.

suma con llevada con perlas doradas Montessori. Paso 2

Muevo la decena a la columna de las decenas. Entonces me queda 1 unidad, así que escribo 1 en la columna de las unidades.

suma con llevada con perlas doradas Montessori. Paso 3

Junto las decenas y las cuento.

suma con llevada con perlas doradas Montessori. Paso 4

Como tengo 10 decenas, las cambio por 1 centena.

suma con llevada con perlas doradas Montessori. Paso 5

Muevo la centena a la columna de las centenas. Después del cambio no me quedan decenas, así que escribo 0 en la suma en la columna correspondiente a las decenas.

suma con llevada con perlas doradas Montessori. Paso 6

Junto las centenas, las cuento y escribo el resultado.

suma con llevada con perlas doradas Montessori. Paso 7

Repito el proceso con los millares.

suma con llevada con perlas doradas Montessori. Paso 8

Recomendaciones y cosas a tener en cuenta

Personalmente soy más partidaria de dejar primero a los niños trabajar con los materiales sin escribir nada en papel. O en todo caso, dejándoles escribir la operación a su manera (por ejemplo, con un dibujo). Si vas a enseñas a sumar a un niño que aún no sabe, este es el método que te recomiendo.

Lamentablemente a muchos niños en el colegio les enseñan a sumar de memoria:
“Sumas cada columna y si el número es menor que 10 lo escribes, y si es mayor escribes la segunda cifra y la primera se la sumas a la segunda columna.”
Y claro, no entienden nada.

En estos casos lo mejor es hacer una suma que ya hayan escrito, por ejemplo en clase. Vamos haciendo la suma paso a paso con el material manipulativo, y escribimos en papel lo que hemos hecho. Lo hacemos paso a paso, tal como explico en las fotos, para asegurarnos de que van entendiendo todo el proceso. Y paramos en cada paso el tiempo que sea necesario.

 

Todas las explicaciones las he hecho siguiendo el algoritmo tradicional de la suma para no liar. No creo que sea necesario una explicación detallada usando algoritmos ABN. Pero si queréis que la haga decídmelo en los comentarios.

Por otro lado, hacer las fotos y retocarlas me ha llevado muchísimo tiempo. Así que estoy pensando grabar vídeos con las explicaciones. ¿Qué os parece?

 

Proyecto Refraction: crea tu propio nivel

Título: Refraction
Edades: 11-12                                                 Temporalización: 5 – 6 sesiones
Conceptos: fracción, división de fracción entre natural, fracciones equivalentes, suma de fracciones con igual y con distinto denominador, conservación de la energía
Material: pc/tableta, tijeras, pegamento

¿Quieres empezar con fracciones de una manera diferente? ¿Haciendo un proyecto, por ejemplo?

El proyecto que te describo  a continuación está basado en un juego online sobre fracciones llamado Refraction. Espero que te resulte interesante.

La descripción del juego, así como propuestas para conversar, a partir de él, sobre fracciones, están publicadas en nuestras anteriores entradas:

Refraction: Juego Online con Fracciones

Refraction: Vídeos para Conversaciones sobre Fracciones

Descripción del proyecto

Este proyecto  consiste en configurar un nivel del juego en el que la nave necesita una fracción de láser de 7/12 para ponerse en funcionamiento .

Pongo además dos requisitos. El primero es que en el nivel ideado sea necesario usar, al menos, dos de los tipos de dispositivos del juego.

Dispositivo Imagen Función
Splitter Proyecto Refraction. Splitter Proyecto Refraction. Splitter divide rayo unidad en dos de un medio
Combiner Proyecto Refraction. Combiner Proyecto Refraction. Combiner suma dos rayos de un tercio
Transformer Proyecto Refraction. Transformer Proyecto Refraction. Transformer convierte un rayo de un medio en otro de dos cuartos

El segundo requisito es que no se desperdicie energía del láser, es decir, que toda la energía que salga de los láseres, llegue a la nave.  De hecho se  piden demostraciones matemáticas (con operaciones con fracciones) de que, efectivamente, no se desperdicia energía. Para que  los estudiantes comprendan esta idea, el proyecto empieza haciéndoles reflexionar y calcular sobre el nivel 5.6.

Aquí te dejo la hoja de trabajo  con los requisitos, el tablero sobre el
que montar el nivel y los dispositivos para recortar.

Hoja de trabajo del proyecto Refractions

Seguir leyendo Proyecto Refraction: crea tu propio nivel

Refraction: Vídeos para conversaciones sobre fracciones

El juego Refraction nos ofrece múltiples situaciones que propician conversaciones matemáticas sobre fracciones. Esta es la idea que voy a desarrollar en esta entrada, que es la segunda de las tres basadas en el juego Refraction.

En la primera, Refraction: Juego Online con Fracciones, puedes encontrar la información general sobre el juego y ejemplos de las valiosas visualizaciones que ofrece sobre las operaciones con fracciones.

La tercera entrada, Proyecto Refraction: crea tu propio nivel incluye las hojas de trabajo y la evaluación formativa para trabajar las fracciones por medio de un proyecto de investigación.

Vamos entonces al tema de esta entrada.

Conversaciones matemáticas sobre fracciones

El concepto de fracción, el de fracciones equivalentes y las operaciones con fracciones son conceptos que requieren reflexión, manipulación y, desde mi punto de vista, conversación.

Pues bien, como ya he escrito, el juego Refraction nos ofrece múltiples situaciones interesantes que dan pie a conversaciones sobre fracciones.

A continuación os propongo mostrar a los estudiantes distintas capturas de vídeo y conversar sobre lo que está pasando en cada una de ellas. Lo ideal siempre, es que ellos mismos se hagan las preguntas. Yo propongo, además, otras que, en mi opinión, pueden dar lugar a conversaciones fructíferas.

División de una fracción entre un número natural

  • ¿Por qué 1/6?
  • ¿No será 1/5, ya que surgen 5 rayos?
  • ¿O quizá 1/2 ya que el rayo de 1/3 se divide en 2?
  • ¿Dónde están los seis rayos iguales de 1/6?

Fracciones equivalentes

Seguir leyendo Refraction: Vídeos para conversaciones sobre fracciones

Refraction: Juego online con fracciones

Refraction es un juego online basado en las  operaciones con fracciones.

Lo mejor, si os apetece, es que os pongáis a jugar y así las explicaciones sobran. El juego está alojado en esta página:

http://play.centerforgamescience.org/refraction/site/

He publicado otras dos entradas relacionadas con este juego. En una de ellas encontrareis capturas de vídeo del juego que pueden propiciar conversaciones sobre fracciones y en la otra os propongo que lleveis a cabo un proyecto basado en el juego.

Por si queréis seguir leyendo antes de jugar os cuento la historia del juego.

En qué consiste el juego

Una nave ha quedado perdida en el espacio y necesita, para volver a funcionar, que le llegue cierta cantidad de energía en forma de haz de láser.

En cada nivel hay uno o varios láseres de los que salen haces de luz de anchuras 1, 1/2, 1/3… y la nave o naves necesitan 2/3, 5/6, 3/4, 7/3…

Para conseguir que llegue a la nave la anchura de haz láser necesaria, se pueden utilizar algunos de los dispositivos que transforman el haz. Algunos simplemente lo doblan. Otros lo dividen en partes que se separan (división de fracción entre número natural). También hay dispositivos  que dividen el haz en partes que quedan juntas (reducción a común denominador) y, por último, otros unen varios haces (suma).

A continuación, una tabla resumen de los dispositivos y el efecto que produce cada uno sobre el haz láser:

Dispositivo Imagen Función
Splitter Refraction juego con fracciones. Splitter Refraction juego con fracciones. Splitter divide rayo unidad en dos de un medio
Combiner Refraction juego con fracciones. Combiner Refraction juego con fracciones. Un combiner suma dos rayos de un tercio
Transformer Refraction juego con fracciones. Transformer Refraction juego con fracciones. Transformer convierte un rayo de un medio en otro de dos cuartos

Capturas de imagen y vídeo

 Aquí algunas imágenes para que veais el tipo de situaciones que se presentan:

En primer lugar un detalle del nivel 2.5 que capturé una vez resuelto. Del láser sale 1 y la nave necesita 1/6 para ponerse en funcionamiento:

Refraction juego con fracciones. Detalle nivel 2.5
Detalle del nivel 2.5 resuelto de Refraction

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Proyecto Caja Abierta: Manipulativo

Título: Caja Abierta
Edades: 8-108                                              Temporalización: 5 – 6 sesiones
Conceptos: longitud, volumen, unidades de volumen, capacidad    (Quizá: gráficas, funciones, optimización, derivadas, derivadas sucesivas)
Material: papel blancopapel cuadriculado en centímeros cuadrados, tijeras, celo, regletas unidad o unidades de base 10

¿Te gustaría trabajar manipulando, conceptos como longitud, capacidad, volumen y sus unidades?

El proyecto Caja Abierta da para esto y para mucho más. Me refiero a que con él se pueden  trabajar también tablas, gráficas,  e incluso funciones y derivadas. Por esta razón, la información relevante sobre este proyecto está dividida en tres entradas.

En la primera, titulada Proyecto Caja Abierta: Multinivel  hice una descripción somera del proyecto incidiendo en que se trata de un proyecto multinivel.

La segunda, llamada Proyecto Caja Abierta: Manos a la Obra, contiene  el proyecto fase a fase con los materiales necesarios (hoja de trabajo, evaluación) para llevarlo a cabo.

En esta tercera entrada, tras una breve descripción del problema,  propongo una forma de introducir la manipulación en el proyecto.

Breve descripción del proyecto

Construcción de la caja

En la imagen aparece cómo se monta el tipo de caja con el que vamos a trabajar.

Proyecto Matemáticas Manipulativos Volumen. Etapas del montaje de la caja.
Cuadrado de 15 cm de lado, cuadrado con esquinas recortadas y caja a medio montar

Empieza con un cuadrado de papel o cartulina de 15 cm de lado. Recorta cuatro cuadraditos iguales en las cuatro esquinas.  Pliega  dejando una base cuadrada. Une los lados de los rectángulos con celo para que estos hagan de paredes de la caja. Ya tienes una de tus cajas sin tapa.

Pregunta

La pregunta que vertebra todo el proyecto es la siguiente:

¿Cómo cambia la capacidad de la caja, según el lado del cuadrado pequeño que recortamos en cada esquina va creciendo?

Tienes también aquí la hoja de trabajo para los estudiantes.

 Por qué ofrecer materiales manipulativos

Creo que una de las dificultades con las que se encuentran muchas personas ante un problema matemático es que no se imaginan la situación de la que se está hablando.  En concreto, en nuestro proyecto, algunos estudiantes no se imaginarán, si no la ven (y quizá la tocan) la caja de la que estamos hablando.

Por otro lado creo que el aprendizaje parte de lo concreto para llegar a la abstracción. Gracias a haber visto o montado  unas cuantas cajas, podrán imaginar otras.

Y por último, para mi es necesario ver, medir y  tocar para adquirir nociones como longitud, área, volumen o capacidad.

Qué materiales ofrecer

Materiales para comprender la situación

  • Cuadrado en papel blanco de 15×15 cm de lado
  • Cuadrado en papel blanco de 15×15 cm con los cuadraditos recortados en cada esquina
  • Caja a medio montar

Con un juego de estos materiales que esté a la vista de todos será suficiente. Quizá alguna persona necesitará tocarlo.

Materiales para la fase de investigación
  • Tijeras
  • Celo
  • Papel cuadriculado de 1cm
  • Cuadrados cuadriculados de 15 x15 cm de lado
Proyecto Matemáticas Manipulativos Volumen. Papel cuadriculado en cm.
Papel cuadriculado de 1cm imprimible. ¡Cuidado con la escala de impresión! Debe ser 100%
  •  Regletas unidad  o unidades de  base 10 (centímetros cúbicos)
Proyecto Matemáticas Manipulativos Volumen. Regletas unidad o unidades de base 10.
Las regletas unidad de 1 cm de arista o las unidades de la base 10 son centímetros cúbicos

 Propuestas de manipulación

Seguir leyendo Proyecto Caja Abierta: Manipulativo

Proyecto caja abierta: manos a la obra

Título: Caja Abierta
Edades: 8-108                                              Temporalización: 5 – 6 sesiones
Conceptos: longitud, volumen, unidades de volumen, capacidad    (Quizá: gráficas, funciones, optimización, derivadas, derivadas sucesivas)
Material: papel blancopapel cuadriculado en centímetros cuadrados, tijeras, celo, regletas unidad

En la entrada anterior, titulada Proyecto Caja Abierta: Multinivel hice una somera descripción del proyecto, explayándome en el hecho de que se trata de un proyecto multinivel.

En la siguiente entrada, titulada Proyecto Caja Abierta: Manipulativo, encontrarás una propuesta para trabajar este proyecto con materiales manipulativos.

A continuación detallo cada una de las fases del desarrollo del  proyecto  en el grupo y aporto  los materiales necesarios (hoja de trabajo, evaluación) para llevarlo a cabo.

Presentación al grupo

Muestra un cuadrado de papel o cartulina de 15 cm de lado. Y otro de igual tamaño, pero con un cuadrado más pequeño cortado en cada esquina.  Pliega este último para formar una caja sin tapa (dejando una base cuadrada y de tal manera que los rectángulos hagan de paredes de la caja). Es importante que hagas esto delante de los estudiantes para que puedan comprender la situación de la que estás hablando.

Proyecto Matemáticas Volumen Imprimibles. Pasos para costruir la caja.
Cuadrado de 15 cm de lado, cuadrado con esquinas recortadas y caja a medio montar

 Pregunta

¿Cómo cambia la capacidad de la caja, según el lado del cuadrado pequeño que recortamos en cada esquina va creciendo?

Hipótesis

Pide  que lancen hipótesis.                                                                                                 Alguien podría decir: “Según recorte cuadraditos más grandes, me quedará menos papel, con lo cual la capacidad de la caja será menor”.   Registra las hipótesis que han lanzado para comentar posteriormente, cuando hayan investigado y llegado a sus conclusiones.

Hoja de trabajo

 Las instrucciones para los estudiantes se podrían escribir así:

 Partimos de un cuadrado de 15 cm de lado.                                                        ¿Cómo cambia la capacidad de la caja abierta que formamos a partir de él, según el lado del cuadrado pequeño que recortamos en cada esquina va creciendo?                                                                                                           Trabajad en grupos  de tres y haced un póster por grupo con vuestras conclusiones representándolas  visualmente mediante dibujos, tablas, gráficasPreparad argumentos para convencer a los demás grupos de que vuestras conclusiones son válidas.

Puedes encontrar aquí la hoja de trabajo en formato pdf.

Seguir leyendo Proyecto caja abierta: manos a la obra

Proyecto Caja Abierta: Multinivel

Título: Caja Abierta
Edades: 8-108                                              Temporalización: 5 – 6 sesiones
Conceptos: longitud, volumen, unidades de volumen, capacidad    (Quizá: gráficas, funciones, optimización, derivadas, derivadas sucesivas)
Material: papel blancopapel cuadriculado en centímetros, tijeras, celo, regletas unidad

Inauguro con esta entrada la sección Matemáticas por Proyectos donde encontrarás proyectos multinivel de  investigación, manipulación, discusión y colaboración. Como verás otra forma de trabajar las matemáticas.

¿Te gustaría trabajar  con un proyecto en el que aparezcan conceptos geométricos como longitud, volumen (y sus unidades), capacidad, y quizá también, pero no obligatoriamente, otros aspectos matemáticos, como dependencia funcional, maximización y representaciones gráficas?

Si te animas a embarcarte en este proyecto, ten en cuenta que la información relevante está dividida en tres entradas.                                 En esta primera doy una somera descripción del proyecto y a continuación me centro en su carácter multinivel.

La siguiente entrada, titulada Proyecto Caja Abierta: Manos a la Obra incluye las distintas fases del proyecto, con los imprimibles (hoja de trabajo, evaluación) para llevarlo a cabo.

Por último, en la tercera y última entrada de la serie, titulada Proyecto Caja Abierta: Manipulativo  os propondré una forma de incluir la manipulación en el proyecto.

 Construcción de la caja

En la imagen puedes ver cómo se monta el tipo de caja sin tapa con el que vamos a trabajar.

Montaje de la caja. Proyecto de investigación en Matemáticas: volumen y gráficas
Cuadrado de 15 cm de lado, cuadrado con esquinas recortadas y caja a medio montar

Empieza con un cuadrado de papel o cartulina de 15 cm de lado. Recorta cuatro cuadraditos iguales en las cuatro esquinas.  Pliega  dejando una base cuadrada. Une los lados de los rectángulos con celo para que estos hagan de paredes de la caja. Ya tienes una de tus cajas sin tapa.

Trabajo para los estudiantes

Las instrucciones para dar a los estudiantes se podrían escribir así:

 Partimos de un cuadrado de 15 cm de lado.

¿Cómo cambia la capacidad de la caja abierta que formamos a partir de él, según el lado del cuadrado pequeño que recortamos en cada esquina va creciendo?

Seguir leyendo Proyecto Caja Abierta: Multinivel