Proyecto caja abierta: manos a la obra

Título: Caja Abierta

Edades: 8-108                                              Temporalización: 5 – 6 sesiones

Conceptos: longitud, volumen, unidades de volumen, capacidad    (Quizá: gráficas, funciones, optimización, derivadas, derivadas sucesivas)

Material: papel blanco, papel cuadriculado en centímetros cuadrados, tijeras, celo, regletas unidad

En la entrada anterior, titulada Proyecto Caja Abierta: Multinivel hice una somera descripción del proyecto, explayándome en el hecho de que se trata de un proyecto multinivel.

En la siguiente entrada, titulada Proyecto Caja Abierta: Manipulativo, encontrarás una propuesta para trabajar este proyecto con materiales manipulativos.

A continuación detallo cada una de las fases del desarrollo del  proyecto  en el grupo y aporto  los materiales necesarios (hoja de trabajo, evaluación) para llevarlo a cabo.

Presentación al grupo

Muestra un cuadrado de papel o cartulina de 15 cm de lado. Y otro de igual tamaño, pero con un cuadrado más pequeño cortado en cada esquina.  Pliega este último para formar una caja sin tapa (dejando una base cuadrada y de tal manera que los rectángulos hagan de paredes de la caja). Es importante que hagas esto delante de los estudiantes para que puedan comprender la situación de la que estás hablando.

 Pregunta

¿Cómo cambia la capacidad de la caja, según el lado del cuadrado pequeño que recortamos en cada esquina va creciendo?

Hipótesis

Pide  que lancen hipótesis.                                                                                                 Alguien podría decir: “Según recorte cuadraditos más grandes, me quedará menos papel, con lo cual la capacidad de la caja será menor”.   Registra las hipótesis que han lanzado para comentar posteriormente, cuando hayan investigado y llegado a sus conclusiones.

Hoja de trabajo

 Las instrucciones para los estudiantes se podrían escribir así:

 Partimos de un cuadrado de 15 cm de lado.                                                        ¿Cómo cambia la capacidad de la caja abierta que formamos a partir de él, según el lado del cuadrado pequeño que recortamos en cada esquina va creciendo?                                                                                                           Trabajad en grupos  de tres y haced un póster por grupo con vuestras conclusiones representándolas  visualmente mediante dibujos, tablas, gráficas… Preparad argumentos para convencer a los demás grupos de que vuestras conclusiones son válidas.

Puedes encontrar aquí la hoja de trabajo en formato pdf.

Uso de materiales manipulativos

 Ofrece materiales para permitir un acercamiento manipulativo al problema. Os daré más detalles en la próxima entrada:

• Papel cuadriculado de 1cm
• Cuadrados cuadriculados recortados de 15 x15 cm de lado

•  Regletas unidad (centímetros cúbicos)

Investigación (2 sesiones)

Algunas personas simplemente dibujarán en un papel. Otras querrán construir algunas cajas con recortes cada vez más grandes y meter regletas unidad para medir la capacidad de la caja. Quizá alguien hará únicamente cálculo mental.

Independientemente del acercamiento al problema que se haga, la investigación lleva tiempo, mucho más que escuchar lo que otro ha investigado y descubierto. Por esta razón he asignado dos sesiones a esta fase del proyecto.

Preguntas

Durante el proceso de investigación observa atentamente todos los diálogos que se produzcan en los grupos. Si algún grupo se encuentra bloqueado puedes lanzar preguntas como:

¿Crees que cabría la misma cantidad de agua en la caja que resulta de cortar cuadraditos de 1cm de lado que en la que resulta de cortar cuadraditos de 7cm de lado?

¿Cuántos centímetros cúbicos caben en la caja que resulta de cortar cuadraditos de 1cm de lado?

Elaboración del póster (1-2 sesiones)

Anima a los estudiantes  a utilizar representaciones visuales (dibujos, tablas y gráficas) para preparar su póster. En la hoja de trabajo se menciona expresamente pero no está de más recordarlo.

Cada grupo presenta un único póster, con lo que necesitarán tiempo para ponerse de acuerdo sobre qué plasmar y cómo.  Por esta razón asigno a esta fase 1-2 sesiones.

Es importante exigir que todos los integrantes del grupo comprendan y puedan defender las conclusiones que aparecen en su póster.

Convence a un escéptico ( 1/2 – 1 sesión)

Un estudiante de cada grupo va a ver el póster de otro grupo y pide explicaciones sobre todo aquello con lo que no esté de acuerdo o no entienda. Los  que se quedan con su póster dan sus explicaciones y argumentos para defender la conclusión a la que ha llegado su grupo. Esto se repite varias veces y se intercambian las funciones de tal manera que cada alumno vea y comente varios carteles y defienda el suyo también.

Puesta en común en el grupo completo (1/2 sesión)

Si  centramos la atención en una única respuesta que consideramos correcta, no todos los grupos se animarán a participar.  Por el contrario, te  animo a  centrar la conversación en la estrategia seguida por los diferentes grupos y en lo que han aprendido a cerca del volumen de una caja. Esto fomenta la participación de todos los grupos.

 Para ello puedes formular preguntas como estas:

¿Qué habéis hecho para averiguar cómo depende el volumen de la caja del lado del cuadradito que recortamos?

¿Qué habéis aprendido en relación al volumen de una caja?

Comenta, mostrando algunos de los pósters, o explica, si es necesario, las diferentes formas que los estudiantes han utilizado para representar la información: tablas, gráficas, fórmulas…

Compara las soluciones que aparecen en los pósters con las hipótesis que lanzaron antes de comenzar la investigación.

Evaluación para el aprendizaje (evaluación formativa) (1/2 sesión)

Una vez que la puesta en común ha terminado, propón a los estudiantes que realicen, en el mismo grupo en el que han trabajado, una autoevaluación.

Cómo llevar a cabo la Evaluación para el Aprendizaje

Cada grupo comenta y selecciona, de las frases que aparecen en el apartado siguiente, aquellas que tienen sentido para ellos.

¡Importante! Estas frases recorren todo el rango de niveles que incluye el proyecto. Queda a criterio de la persona que lo propone, el descartar aquellas que no proceden. Por ejemplo las relativas a estudio algebraico en un grupo de niños de 7 a 9 años.

Para ello puedes encontrar aquí el documento de evaluación para el aprendizaje en formato LibreOffice. Descárgatelo y  adáptalo a las necesidades del grupo .

Frases para la Autoevaluación

• Tenemos una imagen mental de cómo es un centímetro de largo y cuánto ocupa un centímetro cúbico.
• Comprendemos que la capacidad o el volumen de una caja en centímetros cúbicos es el número de cubitos de centímetro cúbico que podemos meter dentro (idealmente).
• Entendemos la diferencia entre longitud y volumen y podemos explicarlo con nuestras propias palabras.
• Comprendemos que el volumen de una caja abierta depende de la medida del lado del cuadrado pequeño que cortamos en las esquinas.
• Sabemos que el volumen es nulo (cuando el recorte mide 0 cm), después aumenta hasta__________ (cuando el recorte es de ______ cm de lado) y disminuye hasta cero (cuando el recorte mide ______ cm de lado).
• Conocemos el máximo volumen que es __________. Se consigue cortando cuadraditos de __________cm de lado en cada esquina.

Representación

• Podemos escribir una tabla para recoger las distintas medidas de los cuadraditos recortados y los volúmenes de las cajas correspondientes.
•  Sabemos realizar una gráfica para la medida del lado del cuadradito y el volumen de la caja.

Estudio algebraico

• En este proyecto va cambiando el lado del recorte que hago. Así que puedo utilizar un símbolo, por ejemplo x, para referirme a cualquier valor del lado del recorte.  Según cambia x, cambia también el volumen de la caja. Puedo utilizar V para referirme a cualquier valor del volumen. 
• Podemos escribir las operaciones que hago con el lado del recorte para hallar el volumen de la caja. Es decir, puedo hallar la fórmula del volumen en función del lado del recorte.
• La fórmula obtenida para el volumen supera ciertas comprobaciones como que para recorte 1cm, el volumen es 169 centímetros cúbicos, para recorte 7cm, el volumen es 7 centímetros cúbicos, o que para recorte 7.5 cm el volumen es nulo.

Derivadas

• Puedo comprobar que para recortes de 2.5 cm y de 7.5 cm:                          – la pendiente (inclinación) de la tangente a la gráfica del volumen es 0      – la derivada del volumen vale 0
• La pendiente  de la tangente a la gráfica del volumen para un valor del recorte coincide con la derivada  del volumen para ese valor del recorte. 

Derivadas sucesivas

• Como en 2.5 cm el volumen es máximo, la pendiente de la tangente (derivada primera) en 2.5 cm está disminuyendo (era positiva, a la izquierda de 2.5 cm, es nula en 2.5 cm y negativa a la derecha), entonces la derivada segunda del volumen en 2.5 cm es negativa.

¿Estás pensando en recortar el proyecto?

Me parece importante que tengas en cuenta que  el aprendizaje de un estudiante con este proyecto se produce durante todas las fases: con los diálogos entre compañeros en la investigación , viendo pósters de otros, defendiendo sus ideas para convencer a un escéptico,  en la puesta común en el grupo completo e incluso reflexionando en grupo en el momento de la evaluación.

Conozco las limitaciones con las que nos encontramos los profesores en las aulas. Aun así, considero que el proyecto queda cojo sin la parte de colaboración, discusión, puesta en común y evaluación para el aprendizaje.

Conseguir los materiales

• Papel cuadriculado de 1cm en formato pdf : Mateslibres.com
• Centímetros cúbicos (también llamados regletas unidad) disponibles en tiendas online de materiales manipulativos.
• Las cajas montadas que aparecen en la foto están hechas con forro adhesivo con el revés cuadriculado en centímetros cuadrados. Puedes encontrarlo  en papelerías. Sin embargo, no lo recomiendo como material, porque se recorta con dificultad.

Gracias a

• Investigando las Matemáticas.  Libro 4. Robert Fisher y Alan Vince,1990. Ediciones AKAL. ISBN 84-7600-577-6. Página 41.
• Alberto Velasco (I.E.S. Galileo Galilei  Alcorcón). Suya fue la idea de ampliar el  proyecto que aparece en el libro arriba referido hasta incluir el desarrollo algebraico (función volumen y derivadas).
• Map.mathshell.org por la estructura del proyecto y los ejemplos de evaluación par el aprendizaje.
• Sara Barceló y Nicolás Peña por su atención y comentarios.
• Jo Boaler por su curso online de Stanford  How to Learn Math. En especial por su paradigma de la capacidad matemática en desarrollo.