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Policubos: Geometría y visualización espacial

Tras la primera entrada donde explicaba en qué consisten los Policubos, hoy voy a entrar en materia explicando cómo se pueden utilizar para trabajar la geometría.

Puedes visitar nuestro tablero de Pinterest con plantillas gratuitas para hacer muchas de las actividades que te voy a contar.

Cosas a tener en cuenta al trabajar la geometría

Muchas de las actividades que voy a poner se pueden hacer tanto con niños pequeños como con adultos. Sin embargo, no todos trabajamos igual y es importante que adaptes la actividad a la edad y características de quienes la van a realizar.

Por ejemplo, una de las ventajas de los Policubos es que permiten hacer construcciones en 3D pero algunos niños más pequeños no son capaces de hacerlas. Para trabajar con ellos es mejor elegir construcciones con modelos planos y pocas piezas.

Existen muchas actividades distintas y muy variadas para trabajar la geometría con Policubos, así que solo voy a poner unos pocos ejemplos que sirvan de inspiración. La idea es que tú puedas hacer variaciones sobre ellos.

He dividido las actividades en las siguientes categorías:

  • Construcción libre
  • Desafíos de construcción
  • Simetría
  • Percepción espacial

Construcción libre

Antes de empezar con actividades más académicas, me parece importante mostrar el tipo de trabajo que pueden realizar los niños si les dejas los Policubos y no les das ninguna instrucción.

Construcciones libres con Policubos
Muñecas hechas con Policubos

Una de las grandes ventajas es que, al poder conectar las piezas por todas sus caras, no están limitados a hacer construcciones apilando bloques en vertical: pueden ensanchar horizontalmente un modelo a cualquier altura sin preocuparse de que haya piezas debajo.

Además como todas las piezas son iguales y se conectan de una en una, resulta muy fácil corregir los errores al construir un modelo que están imaginando.

La única desventaja de estas construcciones es que resultan poco estables y se rompen fácilmente. Esto es debido a que las piezas tienen una única cara con saliente, y por tanto cada pieza que se va añadiendo está conectada únicamente a otra pieza.

Desafíos de construcción

Además de dejarles experimentar libremente con los Policubos, puedes proponerles distintos desafíos para que construyan un objeto determinado. El tipo de desafío dependerá de tus alumnos y de lo que quieras trabajar con ellos: conteo, cuerpos geométricos, lógica…

Los desafíos los puedes proponer a toda la clase o hacer tarjetas para que los alumnos trabajen de forma individual o por grupos pequeños. Esta segunda opción es genial si trabajas por rincones o con estaciones de trabajo.

Policubos-geometría-contornos
Rellenar el contorno con Policubos

A continuación te pongo algunos desafíos para inspirarte:

  • Construcción libre dándoles un número determinado de cubos. Puedes proporcionarles tú los cubos o pedirles que elijan un número de cubos (20 por ejemplo) y construyan lo que quieran.
  • Pedirles que hagan un modelo con un número determinado de piezas para que lo copie un compañero. En esta actividad se puede hacer una variación para trabajar el lenguaje. Cuando se acaba la construcción, en lugar de mostrarle a su compañero la construcción para que la copie, se le dan instrucciones para que la construya sin verla.
  • Construir un modelo determinado con un número concreto de piezas. Por ejemplo que construyan una pirámide escalonada con 35 cubos, un cuarto de pirámide con 55 piezas…
  • Pedirles un modelo sin decirle el número de piezas. Decirles que construyan un cubo macizo, un cubo hueco, otro cubo donde las caras son huecas. Luego pueden averiguar cuántas piezas han usado en la construcción de los modelos.
  • Construir para rellenar un contorno. Proporciona un contorno dibujado en un papel y que ellos lo rellenen eligiendo los colores. Puedes crear tu mismo las plantillas o buscar en nuestro tablero de Pinterest con plantillas gratuitas.

Trabajar la simetría

La simetría se puede trabajar de distintas formas y a distintos niveles de profundidad. Para introducir el concepto de geometría, puedes empezar con un modelo y reflejarlo en un espejo para ver la figura resultante.

Policubos simetría con espejo
Construcciones de Policubos reflejadas en un espejo

Posteriormente puedes hacer medio modelo y pedir que lo completen. El modelo a copiar puede ser una figura plana o un objeto en 3 dimensiones.

policubos-simetria-completar

Si tus alumnos ya saben qué es la simetría puedes pedirles que construyan un objeto que se pueda partir en 2 trozos simétricos.

Policubos objeto partido por la mitad
Una manzana simétrica partida por la mitad

Visualización espacial

Trabajar con Policubos haciendo cualquier actividad mejora la visión espacial. Pero si queremos trabajar este área de forma específica os propongo algunos ejercicios concretos.

He ordenado los ejercicios de más fácil a más difícil, pero gran parte de la dificultad de estas actividades está en lo complejo que sea el modelo.  Ten en cuenta las habilidades de las personas con que trabajas para elegir modelos más o menos sencillos.

Para comenzar puedes pedir que hagan construcciones a partir de imágenes en 3 dimensiones. Puedes ser dibujos en perspectiva caballera o fotos de modelos que hiciste previamente.

Policubos copiando modelo en perspectiva

Otra actividad es dibujar la planta y alzados de un modelo dado.

Dibujar planta y alzado de modelo con Policubos

Una vez se tiene soltura dibujando las vistas en planta y alzado se puede empezar a hacer el proceso contrario. Construir un modelo a partir de las proyecciones en planta y alzados.

Modelo a partir de planta y alzado

Por último, se pueden dar unas proyecciones en planta y alzados con más de una solución y pedir que construyan todas las figuras posibles. En este caso, en las proyecciones estamos dibujando el contorno de cada Policubo.

Busca todas las figuras que corresponden a la planta y el alzado
3 figuras de Policubos que se corresponden con las proyecciones que hay arriba. No son todas las soluciones posibles, hay más.

No he encontrado fichas para imprimir de las actividades de visualización espacial. De todas formas es sencillo crearte las fichas tu mismo en un papel cuadriculado.

Si conocéis algún otro lugar con más recursos de Policubos, especialmente que trabajen la visión espacial decídmelo en comentarios.

 

Ya podéis leer las siguientes entradas de actividades con Policubos:

Policubos: Qué son y para qué sirven

Los Policubos o Multicubos son unos pequeños cubos que se enganchan unos con otros. Son un material muy versátil que permite trabajar muchas áreas distintas de matemáticas: geometría, lógica, aritmética, sistema binario…

Generalmente son de plástico y existen distintos modelos en el mercado.

Tipos de policubos

Además de a las piezas sueltas, se llama Policubos a los cuerpos geométricos resultantes de unir cubos iguales por sus caras. Esto puede causar confusión a la hora de buscar información sobre Policubos en internet. Seguir leyendo Policubos: Qué son y para qué sirven

Sellos Montessori Low-cost

Los Sellos Montessori son un material manipulativo muy útil a la hora de hacer cálculos matemáticos, y extremadamente fáciles y baratos de hacer.

Si quieres saber cómo utilizarlos puedes leer nuestras entradas sobre los Sellos Montessori:

  1. Introducción y cómo formar números
  2. Sumas y restas
  3. Multiplicaciones
  4. Divisiones

Sellos Montessori de Papel

Sellos Montessori para imprimir
Sellos Montessori para imprimir

La forma más rápida y económica de hacer muchos Sellos Montessori, si tienes una impresora a mano, es imprimir una de nuestras plantillas y recortarlas. Podéis elegir entre 3 versiones:

  • Sellos en blanco y negro.
    Son baratos de imprimir pero se necesita papel de colores. Sólo usan tinta negra, el color lo da el papel en el que se imprime.
  • Sellos en color.
    Para imprimir en papel blanco con el color de fondo correspondiente.
  • Sellos en color versión económica.
    Para imprimir en papel blanco usando poca tinta. Los números de los sellos tienen el color correspondiente y el fondo blanco se queda blanco.

Además tenéis una plantilla para poder dividir con los sellos.

Ventajas

Seguir leyendo Sellos Montessori Low-cost

Sellos Montessori: Cómo dividir

Con esta cuarta entrada terminamos la serie sobre los Sellos Montessori. Aquí explicaré cómo dividir.

Os pongo los enlaces a las anteriores entradas sobre los Sellos Montessori por si aún no las habéis leído.

  1. Introducción y cómo formar números
  2. Sumas y restas
  3. Multiplicación

También os recuerdo que podéis visitar nuestro tablero de Pinterest de Sellos Montessori donde encontraréis enlaces a recursos de otras personas para trabajar con los sellos.

Espacio de trabajo y material para hacer divisiones

Para hacer divisiones, además de los Sellos Montessori se utilizan unos peones. Estos peones se usan para indicar el divisor.

Como yo no tengo los sellos ni los peones Montessori originales, he hecho unos para imprimir. Podéis encontrar tanto los sellos como los peones en la sección de descargas gratuitas.

sellos_division_peones
Peones de los Sellos Montessori “normales” y los peones impresos que yo utilizo

Para las divisiones, no hace falta dividir el espacio de trabajo de ninguna forma determinada, ya que se utilizan 2 tipos de elementos totalmente diferenciados (peones y sellos).

Dividir con los Sellos Montessori

Vamos a considerar que dividir significa repartir de forma equitativa, es decir, hacer que todos los grupos tengan la misma cantidad.

Con los Sellos Montessori esto se hace de una forma muy intuitiva: consideramos que estamos repartiendo una cantidad entre un número de personas. La cantidad a repartir (dividendo) lo representamos con sellos, y el número de personas (divisor) lo representamos con peones.

Para ello, colocamos en la parte superior del espacio de trabajo tantos peones como nos indica el divisor. Después, elegimos tantos sellos como indica el dividendo y empezamos a repartirlos para que debajo de cada peón quede el mismo número de sellos.

sellos_division_corta

La solución es la cantidad que corresponde a cada una de las personas después del reparto. En este caso la cantidad de sellos que hay debajo de un peón, es decir, 12.

 

Divisiones largas

Cuando el dividendo es muy grande, en lugar de poner una fila enorme de peones se pueden utilizar peones de otro color que representen el equivalente a 10 o 100.

Por ejemplo, si queremos dividir 36 entre 12, podemos hacerlo poniendo 12 peones y haciendo el reparto. En este caso para poder hacer la división tenemos que cambiar cada sello azul por 10 verdes, puesto que no tenemos sellos azules suficientes para hacer un reparto equitativo.

sellos_division_mediana1

Pero también podemos hacer el reparta utilizando un peón azul (que representa a 10) y dos peones verdes. En este caso debajo del peón azul colocaremos 10 veces más sellos que debajo de los verdes.

sellos_division_mediana2

En ambos casos la solución es la misma, 3.

Utilizando este método podemos hacer divisiones de números tan grandes como queramos. A continuación os dejo un ejemplo de cómo dividir 1452 : 121.

sellos_division_larga

 

Con esto acabamos la serie de entradas donde explicamos cómo utilizar los Sellos Montessori. Aún no he decidido qué material explicaré a continuación, así que admito sugerencias.

Cualquier duda, pregunta o sugerencia podéis dejarla en los comentarios.

Sellos Montessori: Cómo multiplicar

Tras el parón veraniego, retomamos la serie sobre Sellos Montessori con la tercera entrada: cómo hacer multiplicaciones.

Si os perdísteis las anteriores entradas podéis leerlas aquí:

También os recuerdo que podéis visitar nuestro tablero de Pinterest de Sellos Montessori donde encontraréis enlaces a recursos de otras personas para trabajar con los sellos.

El espacio de trabajo para multiplicar

Cuando multiplicamos con los Sellos Montessori el espacio de trabajo se organiza en forma de cuadrícula y no por columnas como hacíamos al sumar y restar.

Al multiplicar me gusta trazar dos líneas perpendiculares que me sirven para separar los multiplicandos del resultado. Así tengo a la vista los números que he multiplicado, pero separados de la solución.

Además de estas líneas de separación, para indicar los números a multiplicar voy a utilizar unos sellos distintos (blancos con los números en color). Estos sellos no existen en el método Montessori, pero creo que van a hacer que las fotografías se comprendan de forma más intuitiva.

Multiplicar sellos Motessori espacio de trabajo

Las líneas y los sellos de otro color no son imprescindibles. De hecho, la mayor parte de las multiplicaciones se pueden hacer sobre una superficie lisa sin ninguna división. Sin embargo, utilizar esta separación y tener los sellos indicando los números a multiplicar hace las cosas más sencillas cuando uno de los factores tiene 0 unidades. Seguir leyendo Sellos Montessori: Cómo multiplicar

Proyecto Caja Abierta: Manipulativo

Título: Caja Abierta
Edades: 8-108                                              Temporalización: 5 – 6 sesiones
Conceptos: longitud, volumen, unidades de volumen, capacidad    (Quizá: gráficas, funciones, optimización, derivadas, derivadas sucesivas)
Material: papel blancopapel cuadriculado en centímeros cuadrados, tijeras, celo, regletas unidad o unidades de base 10

¿Te gustaría trabajar manipulando, conceptos como longitud, capacidad, volumen y sus unidades?

El proyecto Caja Abierta da para esto y para mucho más. Me refiero a que con él se pueden  trabajar también tablas, gráficas,  e incluso funciones y derivadas. Por esta razón, la información relevante sobre este proyecto está dividida en tres entradas.

En la primera, titulada Proyecto Caja Abierta: Multinivel  hice una descripción somera del proyecto incidiendo en que se trata de un proyecto multinivel.

La segunda, llamada Proyecto Caja Abierta: Manos a la Obra, contiene  el proyecto fase a fase con los materiales necesarios (hoja de trabajo, evaluación) para llevarlo a cabo.

En esta tercera entrada, tras una breve descripción del problema,  propongo una forma de introducir la manipulación en el proyecto.

Breve descripción del proyecto

Construcción de la caja

En la imagen aparece cómo se monta el tipo de caja con el que vamos a trabajar.

Proyecto Matemáticas Manipulativos Volumen. Etapas del montaje de la caja.
Cuadrado de 15 cm de lado, cuadrado con esquinas recortadas y caja a medio montar

Empieza con un cuadrado de papel o cartulina de 15 cm de lado. Recorta cuatro cuadraditos iguales en las cuatro esquinas.  Pliega  dejando una base cuadrada. Une los lados de los rectángulos con celo para que estos hagan de paredes de la caja. Ya tienes una de tus cajas sin tapa.

Pregunta

La pregunta que vertebra todo el proyecto es la siguiente:

¿Cómo cambia la capacidad de la caja, según el lado del cuadrado pequeño que recortamos en cada esquina va creciendo?

Tienes también aquí la hoja de trabajo para los estudiantes.

 Por qué ofrecer materiales manipulativos

Creo que una de las dificultades con las que se encuentran muchas personas ante un problema matemático es que no se imaginan la situación de la que se está hablando.  En concreto, en nuestro proyecto, algunos estudiantes no se imaginarán, si no la ven (y quizá la tocan) la caja de la que estamos hablando.

Por otro lado creo que el aprendizaje parte de lo concreto para llegar a la abstracción. Gracias a haber visto o montado  unas cuantas cajas, podrán imaginar otras.

Y por último, para mi es necesario ver, medir y  tocar para adquirir nociones como longitud, área, volumen o capacidad.

Qué materiales ofrecer

Materiales para comprender la situación

  • Cuadrado en papel blanco de 15×15 cm de lado
  • Cuadrado en papel blanco de 15×15 cm con los cuadraditos recortados en cada esquina
  • Caja a medio montar

Con un juego de estos materiales que esté a la vista de todos será suficiente. Quizá alguna persona necesitará tocarlo.

Materiales para la fase de investigación
  • Tijeras
  • Celo
  • Papel cuadriculado de 1cm
  • Cuadrados cuadriculados de 15 x15 cm de lado
Proyecto Matemáticas Manipulativos Volumen. Papel cuadriculado en cm.
Papel cuadriculado de 1cm imprimible. ¡Cuidado con la escala de impresión! Debe ser 100%
  •  Regletas unidad  o unidades de  base 10 (centímetros cúbicos)
Proyecto Matemáticas Manipulativos Volumen. Regletas unidad o unidades de base 10.
Las regletas unidad de 1 cm de arista o las unidades de la base 10 son centímetros cúbicos

 Propuestas de manipulación

Seguir leyendo Proyecto Caja Abierta: Manipulativo

Proyecto Caja Abierta: Multinivel

Título: Caja Abierta
Edades: 8-108                                              Temporalización: 5 – 6 sesiones
Conceptos: longitud, volumen, unidades de volumen, capacidad    (Quizá: gráficas, funciones, optimización, derivadas, derivadas sucesivas)
Material: papel blancopapel cuadriculado en centímetros, tijeras, celo, regletas unidad

Inauguro con esta entrada la sección Matemáticas por Proyectos donde encontrarás proyectos multinivel de  investigación, manipulación, discusión y colaboración. Como verás otra forma de trabajar las matemáticas.

¿Te gustaría trabajar  con un proyecto en el que aparezcan conceptos geométricos como longitud, volumen (y sus unidades), capacidad, y quizá también, pero no obligatoriamente, otros aspectos matemáticos, como dependencia funcional, maximización y representaciones gráficas?

Si te animas a embarcarte en este proyecto, ten en cuenta que la información relevante está dividida en tres entradas.                                 En esta primera doy una somera descripción del proyecto y a continuación me centro en su carácter multinivel.

La siguiente entrada, titulada Proyecto Caja Abierta: Manos a la Obra incluye las distintas fases del proyecto, con los imprimibles (hoja de trabajo, evaluación) para llevarlo a cabo.

Por último, en la tercera y última entrada de la serie, titulada Proyecto Caja Abierta: Manipulativo  os propondré una forma de incluir la manipulación en el proyecto.

 Construcción de la caja

En la imagen puedes ver cómo se monta el tipo de caja sin tapa con el que vamos a trabajar.

Montaje de la caja. Proyecto de investigación en Matemáticas: volumen y gráficas
Cuadrado de 15 cm de lado, cuadrado con esquinas recortadas y caja a medio montar

Empieza con un cuadrado de papel o cartulina de 15 cm de lado. Recorta cuatro cuadraditos iguales en las cuatro esquinas.  Pliega  dejando una base cuadrada. Une los lados de los rectángulos con celo para que estos hagan de paredes de la caja. Ya tienes una de tus cajas sin tapa.

Trabajo para los estudiantes

Las instrucciones para dar a los estudiantes se podrían escribir así:

 Partimos de un cuadrado de 15 cm de lado.

¿Cómo cambia la capacidad de la caja abierta que formamos a partir de él, según el lado del cuadrado pequeño que recortamos en cada esquina va creciendo?

Seguir leyendo Proyecto Caja Abierta: Multinivel

Sellos Montessori: cómo sumar y restar

Continuamos nuestra serie de entradas sobre los Sellos Montessori. Esta semana explicaré cómo hacer sumas y restas con ellos.

Recomiendo leer la entrada anterior donde expliqué qué son los sellos y como formar cantidades con ellos. Saber formar cantidades con los sellos es fundamental para poder hacer sumas y restas.

Además de la explicación que di de cómo formar cantidades, en los últimos días he añadido al tablero de Pinterest de Sellos Montessori tarjetas para trabajar la composición y descomposición de números. Con estas tarjetas podéis trabajar el sistema decimal de forma más amena en vuestras clases.

El espacio de trabajo para sumar y restar con los Sellos Montessori

Cuando vamos a trabajar con sumas y restas con los Sellos Montessori, lo hacemos en columnas.

La columna de la derecha la utilizamos para las unidades, a continuación vienen las decenas, las centenas, y la columna de más a la izquierda es para los millares.

base trabajo sellos Montessori sumar restar
Espacio de trabajo para sumar y restar con los Sellos Montessori

No es necesario tener las columnas dibujadas para trabajar. Sin embargo, tener de fondo el espacio de trabajo dividido ayuda a centrarse en las operaciones, especialmente a los niños más pequeños. Seguir leyendo Sellos Montessori: cómo sumar y restar

Sellos Montessori: qué son y para qué sirven

En esta entrada es el comienzo de una serie donde trataremos nuevo material manipulativo, los sellos Montessori. De momento voy a explicar qué son y como funcionan y en próximas entradas contaré como hacer cálculos aritméticos con ellos.

Cómo son los Sellos Montessori

Los sellos Montessori son unos cuadraditos de colores con unas cifras escritas encima. El código de colores que utilizan es el siguiente:

  • VERDE: corresponden a las unidades y unidades de millar, tienen escrito 1 y 1.000 respectivamente.
  • AZUL: son las decenas, así que tienen escrito 10
  • ROJO: las centenas, con un 100

Además incluyen una serie de fichas y peones de estos mismos tres colores.

sellos Montessori tienda
Versión de los sellos Montessori que se puede comprar en tiendas

Seguir leyendo Sellos Montessori: qué son y para qué sirven

Piezas extra de Pattern Blocks 1

Tal y como expliqué en Pattern Blocks Low-cost, en mi casa no tengo unos Bloques Geométricos comprados, me los he fabricado yo y, además de las piezas “normales”, he añadido algunas piezas extra. Las diferencias son las siguientes:

  • Tengo más polígonos regulares: pentágonos, octógonos y dodecágonos (12 lados)
  • He añadido triángulos y rectángulos resultantes de partir alguno de los polígonos regulares.
  • Recorté las piezas en al menos dos colores distintos.

Hoy voy a explicar cómo utilizar estos bloques extra y algunas actividades que se pueden hacer con ellos y no se pueden realizar únicamente con los Bloques Geométricos o Pattern Blocks normales.

A parte del hecho evidente de que disponer de más piezas y más colores enriquece mucho los diseños que puedes crear, estas piezas permiten hacer muchas más cosas. En primer lugar voy a centrarme en las posibilidades que ofrecen para trabajar las teselaciones. Seguir leyendo Piezas extra de Pattern Blocks 1